Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Проекция геометрического объекта на одну плоскость, рассмотренная нами ранее, не дает полного и однозначного представления о форме геометрического объекта. Поэтому рассмотрим проецирование хотя бы на две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.2), одна из которых расположена горизонтально, а другая вертикально.

Несмотря на наглядность, с чертежом, изображенным на рис 1.2, а работать неудобно, т.к. горизонтальная плоскость на нем показана с искажением. Удобнее выполнять различные построения на чертеже, где плоскости проекций расположены в одной плоскости, а именно, плоскости чертежа. Для этого надо горизонтальную плоскость развернуть вокруг оси ОХ на 90 и совместить с фронтальной так, чтобы передняя пола горизонтальной плоскости ушла вниз, а задняя вверх. Этот метод предложил Г. Монж.

Рис. 1.2. Построение эпюра Монжа:

а) пространственная картина расположения проекций точки А; б) плоскостная картина расположения проекций точки А.

Поэтому чертеж, полученный таким образом (рис. 1.2, б), называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.

Обычно двух проекций недостаточно, чтобы составить полное представление о рассматриваемом геометрическом объекте. Поэтому предлагается ввести третью плоскость проекций, ортогональную первым двум (рис.1. 3, а).

Рис. 1.3. Построение трехкартинного комплексного чертежа (эпюра Монжа):

а) пространственная модель плоскостей проекций; б) трехкартинный комплексный чертеж.

Тогда плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 - фронтальной плоскостью проекций (т.к. она расположена перед нами по фронту), П 3 - профильной плоскостью проекций (расположена в профиль по отношению к наблюдателю). Соответственно А 1 - горизонтальная проекция точки А , А 2 - фронтальная проекция точки А, А 3 - профильная проекция точки А .

Оси ОХ, О Y , OZ называются осями проекций. Они аналогичны координатным осям декартовой системы координат с той лишь разницей, что ось ОХ имеет положительное направление не вправо, а влево. Теперь, чтобы получить проекции в одной плоскости (плоскости чертежа) необходимо и профильную плоскость проекций развернуть до совмещения с фронтальной. Для этого ее нужно развернуть на 90 вокруг оси OZ , причем переднюю полу плоскости развернем вправо, а заднюю влево. В результате получим трехкартинный комплексный чертеж (эпюр Монжа), показанный на рис. 1.3, б. Так как ось О Y разворачивается вместе с двумя плоскостями П 1 и П 3 , то на комплексном чертеже ее изображают дважды.

Из этого следует важное правило взаимосвязи проекций. А именно, исходя из рис. 1.3, а, в математической форме его можно записать в виде: А 1 А x = ОА y = А z А 3 . Следовательно, в текстологическом виде оно звучит так: расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ равно расстоянию от профильной проекции указанной точки до оси О Z . Тогда по двум любым проекциям точки можно построить третью. Горизонтальную и фронтальную проекции точки А связывает вертикальная линия связи, а фронтальную и профильную проекции – горизонтальная.

В связи с тем, что комплексный чертеж представляет собой свернутую в плоскости модель пространства, на нем нельзя изобразить проецируемую точку (за исключением случаев, когда ее положение совпадает с одной из проекций). Исходя из этого, следует иметь в виду, что на комплексном чертеже мы оперируем не самими геометрическими объектами, а их проекциями.

Методы проецирования, представленные в § 1.1, позволяют строить изображения (проекции) по заданному геометрическому образу (оригиналу), т.е. решать прямую задачу начертательной геометрии. Но в ряде случаев предусматривается решение обратной задачи, которая заключается в построении оригинала в пространстве по его проекциям на плоскости проекций.

Таким образом, приведенные выше проекционные чертежи (см. рис. 3, рис. 6, рис. 7, рис. 9) не позволяют восстановить оригинал, т.е. не обладают свойством «обратимости».

Рассмотрим схему построения обратимого чертежа, используемую в начертательной геометрии.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций: S ^П i .

Ортогональное проецирование является основным в черчении, т.к. обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении геометрических образов относительно плоскостей проекций сохранить ряд линейных и угловых параметров оригинала.

Французский геометр Гаспар Монж предложил ортогонально проецировать оригинал на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П 1 и П 2 .

Рис. 11 Рис. 12

П 1 – горизонтальная плоскость проекций; П 2 - фронтальная плоскость проекций; х = П 1 Ⴖ П 2 .

Плоскости проекций разделяют пространство на четыре четверти (или квадранты). Четверти нумеруются в порядке, указанном на рис. 11. Система координат выбрана из условия совпадения координатных плоскостей с плоскостями проекций. На рис. 12 показано проецирование точки А на плоскости П 1 и П 2 . Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 перпендикулярны соответствующим плоскостям проекций, поэтому фронтальная (А 2 ) и горизонтальная (А 1 ) проекции точки А находятся на перпендикулярах А 1 А х и А 2 А х к оси проекций х.

Повернув плоскость проекций П 1 вокруг оси х на угол 90 0 (рис. 13), получим одну плоскость – плоскость чертежа, проекции А 1 и А 2 расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций х – линии связи. В результате совмещения плоскостей проекций П 1 и П 2 получается чертеж, называемый эпюром Монжа. Эпюр Монжа называют в современной литературе еще комплексным чертежом. Это чертеж состоящий из двух и более связанных между собой проекций геометрического образа. В дальнейшем эпюр Монжа будем называть одним словом – чертеж.

Рис. 13 Рис. 14

Так как плоскости проекций безграничны, то чертеж точки А в системе П 1 /П 2 будет выглядеть так, как на рис. 14.

А 2 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 1 ;

А 1 А х – расстояние от точки А до плоскости проекций П 2 .

Поэтому проекции точки А на две плоскости проекций полностью определяют ее положение в пространстве.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать лишь часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекции П 3 .

П 3 – профильная плоскость проекций; Z = П 2 Ⴖ П 3 ; Z – ось ординат. Плоскость проекции П 3 перпендикулярна к П 1 П 2 .

На рис. 15 показано направление поворота на угол 90 0 плоскостей проекций П 3 и П 1 вокруг соответствующих осей координат до совмещения с П 2 .

Из рис. 15 видим, что ось Х делит горизонтальную плоскость проекций П 1 на две части: переднюю полу П 1 (оси Х и Y ) и заднюю полу П 1 (оси Х и Y ).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций П 2 также на две части: верхнюю полу П 2 (оси Х и Z) и нижнюю полу (оси Х и -Z ).

Из рис. 15 видно, что точки, расположенные в различных четвертях пространства, имеют определенные знаки координат. Эти знаки приведены в таблице.

Построение проекций точки А в системе П 1 /П 2 /П 3 показано на рис. 17

Рис. 17 Рис. 18

ОА х – удаление точки А от профильной плоскости проекций;

А 3 – профильная проекция точки А ;

А 1 А х А 2 , А 2 А z А 3 – линии связи.

На чертеже фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z , причем профильная проекция находится на таком же расстоянии от оси Z , что и горизонтальная от оси Х: А z А 3 = А х А 1 .

Горизонтальная проекция точки А 1 определяется координатами Х и Y

фронтальная А 2 – координатами Х и Z , профильная П 3 – координатами Y и Z .

Относительно плоскостей проекций точка может занимать следующие положения:

1. Точка располагается в какой-либо четверти пространства, при этом обязательно условие, что Х ≠ 0; Y ≠ 0; Z ¹ 0.
2. Точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, при условии, что одна из координат должна быть равна «0».

А Î П 1 , если Ζ = 0;

А Î П 2 , если Y = 0;

А Î П 3 , если Х = 0.

3. Точка принадлежит оси координат, если две любые координаты будут равны «0».

А Î Х, если Y = 0; Z = 0;

А Î U, если Х = 0; Z = 0;

А Î Z, если Х = 0; Y = 0.

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия изучает способы построения плоских изображений пространственных геометрических объектов, их геометрические свойства и методы решения пространственных геометрических задач на этих изображениях, что необходимо будущим специалистам при использовании чертежей в их производственной деятельности.

Методические указания предназначены для студентов при самостоятельной подготовке к лабораторным занятиям по начертательной геометрии.

Рассмотренные в пособии задачи сгруппированы по темам и используются студентами при самостоятельной подготовке к очередному занятию. Для этого они должны:

Решить задачи предыдущей темы;

Изучить теоретический материал по заданной теме и ответить на вопросы самоконтроля;

Выполнить упражнения по заданной теме;

Часть задач по теме решаются на лабораторных занятиях при помощи преподавателя, а часть задаются для домашнего решения.

В начале занятия преподаватель проверяет решенные студентами самостоятельно задачи предыдущей темы, теоретическую подготовку студентов и решение упражнений по заданной теме. В конце каждой темы рассматривается пример решения типовой задачи с поэтапным выполнением чертежей. Приступая к решению упражнений новой темы, полезно ознакомиться с соответствующим примером и следовать ему в оформлении чертежа. В конце каждой темы приводятся дополнительные задачи . Правильное решение дополнительных задач студентами дает им возможность принять участие в олимпиаде по начертательной геометрии, которая проводится в конце семестра для выявления сильных студентов по курсу. В приложении пособия приводятся тесты по темам для самоконтроля знаний, изученного материала.

В процессе работы с пособием студенты учатся практическим приемам, применяемым при решении задач, что позволяет им выработать навыки и умения самостоятельного их решения. По мере накопления этого опыта студент начинает мыслить самостоятельно на профессиональном уровне.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ И

ОФОРМЛЕНИЮ ЗАДАЧ

При решении задач необходимо руководствоваться следующими рекомендациями:

1. По данным проекциям геометрических фигур, составляющим исходные данные задачи, представить их форму и взаимное расположение в пространстве как по отношению друг к другу, так и относительно плоскостей проекций.

2. Наметить «пространственный» план решения задачи и установить последовательность выполнения геометрических операций, при помощи которых может быть получен ответ на поставленную задачу. На этой стадии решения задачи следует обращаться к теоремам из курса элементарной геометрии разделы «Планиметрия» и «Стереометрия», а также к теоретическому материалу в учебниках и лекциях.

3. Определить алгоритм решения задачи, кратко записать последовательность графических построений, используя принятые обозначения и терминологию.

4. Приступить к геометрическим построениям, используя инвариантные свойства параллельного проецирования. При выполнении первых двух пунктов полезно установить также возможное число решений и выявить причины, от которых они зависят.

5. Следует иметь в виду, что, осуществляя геометрические построения, на любом этапе решения задачи имеется возможность контроля правильности их выполнения. Это особенно ценно, если учесть, что в задачниках по начертательной геометрии не содержится ответов. В основе контроля лежат инвариантные свойства параллельного проецирования и теоремы из школьного курса стереометрии.

При графическом решении задачи точность ответа зависит не только от выбора правильного пути её решения, но и от точности выполнения геометрических построений. Поэтому, решая задачу, необходимо пользоваться чертёжными инструментами. Задачи должны решаться в отдельной тетради в клетку для лабораторных занятий. Тип и толщина линий выполняются в соответствии с ГОСТ 2.303-68 ЕСКД. Построения выполняются карандашом. Для облегчения чтения чертежа, получающегося в процессе решения, целесообразно применять цветные карандаши: заданные элементы обводятся черным цветом, вспомогательные построения – синим, искомые элементы – красным. Эту же цель преследует обязательное обозначение всех точек и линий. При этом обозначение следует делать в процессе решения задачи сразу после проведения линии или определения точки пересечения линий. Надписи и буквенные обозначения выполнять стандартным шрифтом в соответствии с ГОСТ 2.304-84 ЕСКД.

Тетрадь с решенными задачами предъявляется преподавателю на экзамене.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

А, В, С, D, …или 1, 2, 3, 4, … - обозначение точки; прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры.

о – изображение точки (области расположения точки); круг диаметром 2-3 мм тонкой линией от руки.

a, b, c, d, … - линия в пространстве; строчные буквы латинского алфавита.

Γ, Σ, Δ,… - плоскости, поверхности; прописные буквы греческого алфавита.

α, β, γ, δ, … - углы; строчные буквы греческого алфавита.

П – плоскость проекций (картинная плоскость); прописная буква (пи) греческого алфавита.

АВ – прямая, проходящая через точки А и В .

[AB] – отрезок, ограниченный точками А и В .

[AB ) – луч, ограниченный точкой А и проходящий через точку В.

/AB /–натуральная величина отрезка[AB ] (равная оригиналу).

/Aа /–расстояние от точки А до линии а.

/AΣ /–расстояние от точки А до плоскости Σ .

/ab /–расстояние между линиями а и b.

/GD / - расстояние между поверхностями G и D.

≡- совпадение (А≡В – точки А и В совпадают).

║ - параллельны.

^ - перпендикулярны.

∩ - пересечение.

Î - принадлежит, является элементом множества.

^ - угол, например а^b – угол между прямыми а и b.

Ð α - угол α (или число в градусах).

ÐАВС – угол с вершиной в точке В.

Изображение знаков должно выполняться в соответствии с принятыми стандартами оформления технической и научной документации.

ТЕМА 1 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ МОНЖА

(точка, прямая)

Вопросы самоконтроля

1. Свойства ортогонального проецирования.

2. Какие элементы входят в аппарат проецирования?

3. Что называется осью проекций?

4. Что называется проекцией точки?

5. Какие прямые называются «линиями связи» и как они расположены относительно оси проекций?

6. Можно восстановить положение точки в пространстве по её проекциям?

7. Чем можно задать прямую линию на комплексном чертеже?

8. Какие прямые называются прямыми общего и частичного положения? Постройте комплексный чертёж.

9. Как располагаются в пространстве две прямые относительно друг друга?

10. Что называется следом прямой?

3.1 Комплексный чертёж точки

Упражнения

3.1.5. Какая из заданных на чертеже точек А, В или С принадлежит плоскости П 1 ?

3.1.6 На наглядном чертеже (рисунок 3.1) построить проекции А 2 , В 1 , С 1 и D 2 точек-A, B, С и D. Определить в каких четвертях лежат эти точки?

Рисунок 3.1

Задачи

3.2 Комплексный чертёж прямой

Упражнения

Задачи

3.2.6 Постройте на комплексном чертеже два отрезка соответственно пересекающихся, параллельных, скрещивающихся и конкурирующих прямых.

3.2.7 Через точку А(25, 30, 10) провести отрезок АВ, параллельный плоскости проекций П 2 длиной 30 мм под углом 45° к П 1 . Записать координаты точки В. Сколько решений имеет задача?

3.2.8 Найти натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям П 1 , П 2 .Координаты точек отрезка А(60, 5, 10), В(10, 20,40).

Примеры решения задач:

Задача 1 Какая из заданных точек А, В, С принадлежит плоскости П 1 ?

Решение . Если точка лежит в плоскости П 1 , то её высота равна нулю. Поэтому среди заданных точек нужно искать точку с высотой, равной нулю. Высота точки измеряется расстоянием либо от фронтальной проекции точки до оси Х 1 2 ,либо от профильной проекции до оси У 3 . И если высота точки равна нулю, то эти проекции точки будут лежать на осях Х 12 и У 3 . Этому условию удовлетворяет точка А , у которой проекция А 2 лежит на оси Х 12 , а проекция А 3 - на оси У 3 . Значит точка А расположена в горизонтальной плоскости проекций П 1 .

Точка С также лежит в плоскости проекций. Об этом говорит расположение её проекций С 1 и С 3 соответственно на осях Х 12 и Z 23 . Это значит, что у точки С равна нулю глубина. Поэтому она лежит во фронтальной плоскости проекций П 2 .

Точка В не лежит ни в одной из плоскостей проекций. Она расположена в пространстве.

Похожая информация.

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине «Инженерная графика» 1 семестр

для студентов заочной формы обучения

полная и сокращенная программы

Волгодонск 2013

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ... 3

2. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.. 7

3. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.. 16

4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕРТЕЖА.. 29

5. ПОВЕРХНОСТИ.. 33

6. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.. 50

1. Методы ПРОЕЦИРОВАНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

Введение. Цель и задачи курса

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии.

Методы прямоугольного проецирования на две и три

Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Проекции точки, комплексный чертеж.

Метод Монжа, комплексный чертеж.

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Метод Монжа, комплексный чертеж.

Проекции точки, комплексный чертеж.

Взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Методы прямоугольного проецирования на две и три

Свойства ортогонального проецирования

Основными и неизменными свойствами (инвариантами) ортогонального проецирования являются следующие:

1) проекция точки – точка;

2) проекция прямой – в общем случае прямая; если направления проецирования совпадает с направлением прямой, то проекция последней – точка;

3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

4) проекции параллельных прямых параллельны между собой;

5) отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

6) отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций;

7) проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций этих прямых;

8) если прямая или плоская фигура параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость они проецируются без искажения;

9) если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

В случае если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным . Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гᴦ. одним из основателœей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа "Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.6). Одну из плоскостей проекций П 1 располагают горизонтально, а вторую П 2 - вертикально. П 1 - горизонтальная плоскость проекций, П 2 - фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Метод Монжа, комплексный чертеж. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод Монжа, комплексный чертеж." 2017, 2018.