Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

В шестнадцатом веке быстрыми темпами развивалось мореплавание. Поэтому совершенствовались наблюдения за небесными телами. Для упрощения астрономических расчетов в конце 16 – начале 17 веков возникли логарифмические вычисления.

Ценность логарифмического метода заключается в сведении умножения и деления чисел к сложению и вычитанию. Действиям менее трудоемким. Особенно если приходится работать с многозначными числами.

Метод Бюрги

Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарским математиком Йостом Бюрги в 1590 году. Суть его метода состояла в следующем.

Чтобы умножить, например, 10 000 на 1 000, достаточно сосчитать число нулей в множимом и множителе, сложить их (4 + 3) и записать произведение 10 000 000 (7 нулей). Сомножители – целые степени числа 10. При умножении показатели степеней складываются. Также выполняется и деление. Оно заменяется вычитанием показателей степеней.

Таким образом, можно делить и умножать не все числа. Но их станет больше, если в качестве основания взять число, близкое к 1. Например, 1,000001.

Так и поступил четыреста лет назад математик Йост Бюрги. Правда свою работу «Таблицы арифметической и геометрической , вместе с основательным наставлением…» он опубликовал только в 1620 году.

Родился Йост Бюрги 28 февраля 1552 года в Лихтенштейне. С 1579 по 1604 год служил придворным астрономом у ландграфа Гессен-Касселя Вильгельма IV. Позже у императора Рудольфа II в Праге. За год до своей смерти, в 1631 году, в Кассель. Бюрги известен и как изобретатель первых маятниковых часов.

Таблицы Непера

В 1614 году появились таблицы Джона Непера. Этот ученый тоже брал за основание число, близкое к единице. Но оно было меньше единицы.

Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) учился на родине. Любил путешествовать. Побывал в Германии, Франции и Испании. В 21 год вернулся в семейное поместье недалеко от Эдинбурга и прожил там до смерти. Занимался богословием и математикой. Последнюю изучал по сочинениям Евклида, Архимеда и Коперника.

Десятичные логарифмы

Неперу и англичанину Бриггу принадлежит идея составления таблицы десятичных логарифмов. Работу по пересчету ранее составленных таблиц Непера они начали вместе. После смерти Непера Бригг ее продолжил. Работу он опубликовал в 1624 году. Поэтому десятичные называют еще бригговыми.

Составление логарифмических таблиц потребовало от ученых многолетней трудоемкой работы. Зато во много раз повысилась производительность труда тысяч вычислителей, которые пользовались составленными ими таблицами.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Единственным способом реализации дальних путешествий было мореплавание, что всегда связано с выполнением больших объемов навигационных вычислений. Сейчас трудно представить процесс изнурительных расчетов при умножении-делении пяти-шестизначных чисел «вручную». богослов по роду своей основной деятельности, занимаясь на досуге тригонометрическими расчетами, догадался заменить трудоемкую процедуру умножения простым сложением. Он сам говорил, что его целью было «освободиться от трудности и скуки вычислений, которые отпугивают многих от изучения математики». Усилия увенчались успехом - был создан математический аппарат, названный системой логарифмов.

Итак, что такое логарифм? Основой логарифмических вычислений является иное представление числа: вместо обычной позиционной системы, как мы привыкли, число A представляется в виде степенного выражения, где некое произвольное число N, называемое основанием степени, возводится в такую степень n, что в результате получается число A. Таким образом, n - это логарифм числа А по основанию N. Выбор основания логарифмов определяет название системы. Для простых вичислений применяется десятичная система логарифмов, а в науке и технике широко используется система натуральных логарифмов, где основанием служит иррациональное число е=2,718. Выражение, определяющее логарифм числа А, на языке математики записывается так:

n=log(N)A, где N - основание степени.

Десятичный и натуральный логарифмы имеют свое специфичное сокращенное написание - lgA и lnA, соответственно.

В системе расчетов, использующей вычисление логарифмов, основным элементом является преобразование числа к степенному виду с помощью таблицы логарифмов по некоторому основанию, например 10. Эта манипуляция не представляет никаких сложностей. Далее используется свойство степенных чисел, состоящее в том, что при умножении их степени складываются. Практически это означает, что умножение чисел с логарифмическим представлением, заменяется сложением их степеней. Поэтому, вопрос «что такое логарифм», если его продолжить до «а зачем он нам нужен», имеет простой ответ - чтоб упростить процедуру умножения-деления многоразрядных чисел - ведь сложение «в столбик» значительно проще умножения «в столбик». Кто не верит - пусть попробует сложить и умножить два восьмиразрядных числа.

Первые таблицы логарифмов (по основанию с опубликовал в 1614 году Джон Непер, а полностью лишенный ошибок вариант, включающий и таблицы десятичных логарифмов, появился в 1857 году и известен как таблицы Бремикера. Использование логарифмов с основанием в виде обусловлено тем, что число е довольно просто получить через ряд Тейлора, имеющий широкое применение в интегральном и

Суть данной вычислительной системы содержится в ответе на вопрос «что такое логарифм» и вытекает из основного логарифмического тождества: N(основание логарифма) n, равную логарифму числа А(logA), равно этому числу A. При этом А>0, т.е. логарифм определяется только для положительных чисел, а основание логарифма всегда больше 0 и не равно 1. Исходя из сказанного, свойства натурального логарифма можно сформулировать следующим образом:

1. Область определения натурального логарифма - вся числовая ось от 0 до бесконечности.
2. ln x = 0 - следствие известного соотношения - любое число в нулевой степени равно 1.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - наиболее важное для вычислительных манипуляций свойство - логарифм произведения двух чисел рамен сумме логарифмов каждого из них.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов этих чисел.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Натуральный логарифм представляет собой дифференцируемую, выпуклую вверх функцию, причем ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - логарифм по любому положительному и отличному от числа е основанию отличается от натурального только коэффициентом.

Сейчас каждый школьник знает, что такое логарифм, но благодаря прогрессу в области прикладной вычислительной техники проблемы вычислительных работ ушли в прошлое. Тем не менее, логарифмы, уже как математический инструмент, используются при решении уравнений с неизвестными в показателе степени, в выражениях для нахождения времени

Слово логарифм происходит от греческого(число и отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.Выбор изобретателем(1594г) логарифмов Дж.Непером такого названия объясняется тем,что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел,одно из которых является членом арифмитической прогрессии,а другое-геометрической.Логарифмы с основанием е Спейдел(1619 г.),составивший первые таблицы для функции ln x. Название более позднего происхождения натуральный (естественный) объясняется "естественностью" этого логарифма. Н.Меркатор(1620-1687),предложивший это название,обнаружил ln x - это площадь под гиперболой y=1/х . Он предлагал также название гиперболический.

Н.Меркатор

В течение 16 века резко возрос объем работы,связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения задач,и в первую очередь задач астрономии,имеющий непосредственное практическое применение(в частности, при определении положения сосудов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частично упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение, деление чисел к сложению,вычитанию их логарифмов,удлинило, по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории.Было создано практическое средство-таблица логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.(Вплоть до самого последнего времен, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов, как средство вычисления резко снижается.) Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Непером (1550-1617) и швейцарцем И. Бюрги.

И.Бюрги

В таблицы Непера, изданные под названиями "Описание удивительной таблицы логарифмов"(1614 г.) и "Устройство удивительной таблицы логарифмов"(1619) вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90 градусов с шагом в одну минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г. но вышли в свет они в 1620 году, уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными.

Одна из важных идей,лежащих в основе изобретения логарифмов,была уже известна. Штифель и ряд других математиков обратили внимание на то,что умножение и деление геометрической прогрессии

Соответствуют сложению и вычитанию показателей,образующих арифметическую прогрессию...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....

Но одной этой идеи недостаточно.Например,"сеть" целых степеней числа 2 слишком редка; многие числа "остаются без логарифмов",поэтому была еще одна идея: возводить в степень числа очень близкие к единице.Заметив,что степени

при больших значениях n близки, Непер и Бюрги приняли аналогичное решение: Непер брал в качестве основания число

А Бюрги-число

Дальнейший ход их рассуждения и описания схем вычисления перессказать довольно трудно,как потому,что имеется много непростых деталей,так и потому,что тексты 16 века довольно туманны.Заметим только,что фактически Непер переходит к основанию

А Бюрги- к основанию

Это не изменило существа дела,но позволило несколько упростить вычисления и сами таблицы.

Таким образом, по существу оба изобретателя логарифма пришли к выводу о целесообразности рассмотрения степеней вида

где М очень большое число.Рассмотрение чисел такого вида приводит к известному вам числу e , которое определялось как

Осталось уже немного до идеи принятия в качестве основания логарифмов числа е (основания таблицы логарифмов Бюрги совпадает с точностью третьего знака с е, основания таблицы логарифмов Непера близко к числу 1/е).
Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г) были составлены по совету Непера английским математиком Г.Бриггсом.

Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы достаточно точной при больших значениях m и n в виде степеней двойки:это давало ему возможность свести вычисления к последовательному извлечению квадратных корней.

(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.

Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.

Например:

log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .

Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.

Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).

На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.

А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Условия определения логарифма.

Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .

Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .

И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.

Особенности логарифмов.

Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.

Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.